Exercice numéro 2.19
Énoncé
Voici deux démonstrations du résultat :
« Pour une application linéaire
de
dans ,
est injective si et
seulement si . »
Les quantificateurs rencontrés dans une des deux démonstrations suivantes sont des
.
Quelle est cette démonstration ?
Quels sont les quantificateurs rencontrés dans l’autre ?
Première démonstration
Supposons . Dans
ce cas, on a un
différent de tel
que . Comme
on a aussi ,
n’est
pas injective.
Réciproquement, si n’est
pas injective, on peut trouver
et dans
tels
que et
. On a
donc
et .
Donc .
Deuxième démonstration
Supposons que et
montrons que est
injective. Soient
et éléments
de E tels . On
a . Comme
, on en
déduit que ,
donc que .
Donc
est bien injective.
Réciproquement, supposons
injective et montrons que .
On considère un élément quelconque
de tel que
. On a aussi
, par linéarité,
et, comme est
injective, on obtient .
On a donc .
Caractéristiques de l'exercice numéro 2.19
Aides à la résolution
Pour conclure
Les éléments de cours de l'exercice numéro 2.19
Méthodes et techniques de l'exercice numéro 2.19
Les 97 exercices du chapitre Langage et raisonnement
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
1.1
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.2
1.20
1.21
1.22
1.23
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.1
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.2
2.20
2.21
2.22
2.23
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
4.1
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.2
4.20
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.1
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
Les auteurs de Braise
Exporter l'exercice au format unisciel
Exports supplémentaires
Préférences d'utilisation
À propos des principes adoptés par Braise